Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода.
(Конспект)
В основе понятия нечеткого множества (НИ) лежит представление о том, что обладающие общим свойством элементы некоторого множества могут иметь различные степени вырожденности этого свойства и, следовательно, различную степень принадлежности этому свойству.
Пусть U некоторое множество. Нечетким множеством Ã в U называется совокупность пар вида {(µ Ã (u), u)}, где u U, µ Ã .
Значение µ Ã называется степенью принадлежности объекта к нечеткому множеству U.
µ Ã : U
µ Ã – называется функцией принадлежности.
Пример нечетких множеств – возраст людей (рис. 19.1).
По аналогии с традиционной теорией множеств в Теории НМ определяются следующие операции:
Объединение:
,
где
Перечисление:
,
Дополнение:
Алгебраическое произведение:
,
где
n-арным нечетким отношением
определенным на множествах называется
нечеткое подмножество декартовых
произведений
Так как нечеткое отношение является множеством для него справедливы все операции определенные для нечетких множеств. В практических приложениях теории нечетких множеств важную роль играет операция композиции нечетких отношений.
Композиция нечетких отношений
Пусть заданы 2 двухместных нечетких отношения:
Композиция нечетких отношений определяется следующим выражением:
Степени
принадлежности конкретных выражений
Лингвистическая переменная - - это пятерка Х – имя переменной (возраст), U – базовое множество (0…150), Т(х) – терм множества. Множества лингвистических значений(молодой, средних лет, пожилой, старый). Каждое лингвистическое значение является меткой нечеткого множества определенного на U. G – синтаксическое правило, порождающее лингвистическое значение переменной Х (очень молодой, очень старый). М – семантическое правило ставящее в соответствие каждому лингвистическому значению нечеткое подмножество базового множества, то есть функция принадлежности.
Нечетким высказыванием называется утверждение относительно которого в данный момент времени можно судить о степени его истинности или ложности. Истинность принимает значение в интервале . Нечеткое высказывание не допускающее разделения на более простые называется элементарным.
Нечеткое высказывание построенное на элементарных с использованием логических связок называется составным нечетким высказыванием. Логическим связкам соответствуют операции над истинностью нечетких высказываний. - степени истинности конкретных высказываний.
2)
Таким образом алгебра нечетких множеств изоморфна алгебре нечетких высказываний.
4) операция импликации
Для операции импликации в нечеткой логике предложено несколько определений. Основные:
1)
2)
3)
5) Эквивалентность
n-местным нечетким предикатом, определенным на множествах U 1 , U 2 ,…,U n называется выражение содержащее предметные переменные данных множеств и превращающиеся в нечеткие высказывания при замене предметных переменных элементами множеств U 1 , U 2 ,…,U n .
Пусть U 1 , U 2 ,…,U n базовые множества лингвистических переменных, а в качестве символов предметных переменных выступают иена лингвистических переменных. Тогда примерами нечетких предикатов являются:
«давление в цилиндре низкое» - одноместный предикат
«температура в котле значительно выше температуры в теплообменнике» - двуместных предикат.
Если U k =1,5 следовательно «давление в котле низкое» = 0,7
При построении и реализации нечетких алгоритмов важную роль играет композиционное правило вывода.
Пусть - нечеткое отображение
Нечеткое подмножество универсума U, тогда порождает в V нечеткое подмножество
композиционное правило вывода является основой при построении логического вывода в нечеткой логике.
Пусть задано нечеткое высказывание , где и – нечеткие множества. Пусть также того задано некоторое высказывание (близкое к А, но не тождественное ему).
В классической логике широко используется правило вывода Modus Ponens
Это правило обобщается на случай нечеткой логики следующим образом:
Пусть множество и определены на базовом множестве Х, а и на базовом множестве Y. Естественно считать, что высказывание если задает некоторое нечеткое отображение из множества Х в Y
Тогда в соответствии с композиционным правилом вывода имеем:
Отношение строится на основе определения операции импликации в нечеткой логики.
1)
Если температура в котле низкая (), то подогрев повышенный ()
Реальные нечеткие логические алгоритмы содержат не одно, а множество продукционных правил
Если S 1 , то R 1 , иначе
Если S n , то R n , иначе
Поэтому нечеткие отношения должны быть построены для каждого отдельного правила, а затем агрегированы путем наложения друг на друга
В качестве агрегирующей операции выбирается или min или max в зависимости от типа импликации. композиционного вывода (правило свертки). В рассматриваемой логической системе предпосылки определяются лингвистическими переменными А1,А2,А3, а заключение – лингвистической переменной ...
Одну нечеткую или лингвистическую переменную , нечеткую функцию или нечеткое отношение. Тогда нечеткий ... нечеткой импликацией. Фактически нечеткий вывод на рис. 2 является применением максминной композиции в качестве композиционного правила нечеткого вывода ...
... вывода на диалоговом произведении многозначных и нечетких логик ... лингвистические ... логики малой размерности, однако, с увеличением мощности множества истинностных значений конструирование и использование правил вывода ... значений переменных , образованных...
Значок - это правило композиционного вывода (правило свертки) /3/. В рассматриваемой логической системе предпосылки определяются лингвистическими переменными , а заключение - лингвистической переменной В. В каждом...
От множества субъективных факторов – логика ... являются значениями лингвистической переменной X. Допустим, что множество решений характеризуется... определяется на основе композиционного правила вывода : G = Аº D, где G - нечеткое подмножество интервала I. ...
Говоря о нечеткой логике, чаще всего имеют в виду системы нечеткого вывода, которые широко используются для управления техническими устройствами и процессами. Разработка и применение систем нечетко вывода включает в себя ряд этапов, реализация которых выполняется с помощью рассмотренных ранее основных положений нечеткой логики.
Основные этапы формирования нечеткого вывода:
Формирование базы правил систем нечеткого вывода.
Фаззификация входных переменных.
Агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций.
Активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций.
Аккумулирование заключений нечетких правил продукций.
Ниже рассмотрим основные особенности каждого из этих этапов.
База правил системы нечеткого вывода предназначена для формального представления эмпирических знаний или знаний экспертов в той или иной проблемной области. В системах нечеткого вывода используются правила нечетких продукций, в которых условия и заключения сформулированы в терминах нечетких лингвистических высказываний рассмотренных выше видов. Совокупность таких правил будем далее называть базами правил нечетких продукций.
База правил нечетких продукций представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных. Наиболее часто база правил представляется в форме структурированной текста:
ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ "Условие_1", ТО "Заключение_1"
ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ "Условие_2", ТО "Заключение_2" (1.2)
ПРАВИЛО_N: ЕСЛИ "Условие_N", ТО "Заключение_N"
Согласованность правил относительно используемых лингвистических переменных означает, что в качестве условий и заключений правил могут использоваться только нечеткие лингвистические высказывания представленные в пункте 1.1.2, при этом в каждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлежности значений терм-множества для каждой из лингвистических переменных.
В системах нечеткого вывода лингвистические переменные, которые используются в нечетких высказываниях подусловий правил нечетких продукций, часто называют входными лингвистическими переменными, а переменные, которые используются в нечетких высказываниях подзаключений правил нечетких продукций, часто называют выходными лингвистическими переменными.
В контексте нечеткой логики под фаззификацией понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс или процедура нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств (термов) на основе обычных исходных данных. Фаззификацию еще называют введением нечеткости.
Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным значением отдельной входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной.
П р и м е р 1.1 Для иллюстрации выполнения этого этапа рассмотрим пример процесса фаззификации трех нечетких высказываний: "скорость автомобиля малая", "скорость автомобиля средняя", "скорость автомобиля высокая" для входной лингвистической переменной β1 - скорость движения автомобиля. Им соответствуют нечеткие высказывания первого вида: " β1есть α1 ", " β2есть α2 ", " β3есть α3 ". Предположим, что текущая скорость автомобиля 55 км/ч. Тогда фаззификация первого нечеткого высказывания и третьего дает в результате число 0, второго 0.67.
Рисунок 1.1 - Пример фаззификации входной лингвистической переменной "скорость автомобиля" для трех нечетких высказываний.
11 «Юргинский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»
Определена актуальность процесса выбора поставщика для машиностроительного предприятия. Дана краткая характеристика этапов оценки и выбора поставщика. Проведен анализ методов и подходов к решению данной задачи. Выявлены взаимосвязи между учетом определенных критериев и эффективностью работы с поставщиком. На основе разработанной авторами нечеткой модели создана компьютерная программа «Информационная система выбора поставщика». Программа позволяет определить значение показателей поставщика для оценки его деятельности, проследить динамику каждого показателя. С учетом совокупности значимых критериев поставщики ранжируются по степени приоритетности, что позволяет лицу, принимающему решение, выбрать наиболее приемлемый вариант. Рассмотрена практическая реализация на примере машиностроительного предприятия.
информационная система.
нечеткий логический вывод
логистика
цепь поставки
поставщик
1. Афонин А.М. Промышленная логистика: учебное пособие / А.М. Афонин, Ю.Н. Царегородцев, А.М. Петрова. – М. : ФОРУМ, 2012. – 304 с. – (Профессиональное образование).
2. Бауэрсокс Дональд Дж., Клосс Дэвид Дж. Логистика: интегрированная цепь поставок. – М. : Олимп-Бизнес, 2001. – 640 с.
3. Гаджинский А.М. Логистика: учебник для высших и средних учебных заведений. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : ИВЦ «Маркетинг», 2000. – 375 с.
4. Еленич А.А. Формирование стратегии повышения конкурентоспособности промышленных предприятий: автореф. дис. … канд. экон. н. // Экономическая библиотека [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://economy-lib.com/ (дата обращения: 05.05.2013).
5. Еремина Е.А. Нечеткая модель выбора поставщика // Молодой ученый. - 2011. - № 11. - Т. 1. - С. 120-122 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.moluch.ru/archive/34/3890/ (дата обращения: 05.05.2013).
6. Канке А.А. Логистика: учебное пособие / А.А. Канке, И.П. Кошевая. – М. : КНОРУС, 2011. – 320 с. – (Для бакалавров).
8. Логистика: учеб. пособие / М.А. Чернышев и [др.]; под общ ред. М.А. Чернышева. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 459 с. – (Высшее образование).
9. Модели и методы теории логистики: учебное пособие. - 2-е изд. / под. ред. В.С. Лукинского. – СПб. : Питер, 2008. – 448 с. – (Серия «Учебное пособие»).
10. Определение потребности в материалах [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://coolreferat.com/. (дата обращения: 05.05.2013).
11. Сергеев В.И. Менеджмент в бизнес-логистике. – М. : Филинъ, 1997. – 772 с.
12. СТО ИСМ О.4-01-2012 Интегрированная система менеджмента. Управление закупками.
13. Транспортная логистика: учебное пособие / под общ. ред. Л.Б. Миротина. – М. : Экзамен, 2002. – 512 с.
Введение
Выбор поставщика для предприятия-производителя - процесс, с которого начинается движение материального потока к потребителю. Выбор и работа с поставщиками для торгового предприятия - основа деятельности. Как правило, надежные связи с поставщиками нарабатываются годами. В условиях конкуренции и стремительного развития рынка часто возникает необходимость в быстром и правильном определении поставщика, работа с которым в конечном итоге принесла бы наибольший доход.
Поставщик материалов в цепях поставок является важным связующим звеном, т.к. от характеристик предлагаемого им товара во многом зависит конечный результат деятельности предприятия-производителя и степень удовлетворенности им конечного потребителя. Поэтому, перед менеджером предприятия-производителя стоит задача выбора такого поставщика, условия взаимодействия с которым в наибольшей степени соответствовали бы требованиям предприятия-производителя в настоящее время и обеспечивали стабильность этих условий в долгосрочной перспективе. Для большей эффективности поставок необходимо длительное взаимодействие между представителями компании-покупателя и компании-поставщика. Признавая это, производители концентрируют свое внимание на ограничении количества поставщиков и оптимизации деятельности небольшого количества основных поставщиков, это позволит снизить издержки, которые несет поставщик, цену, которую платит покупатель, и повысить качество продукции.
В процессе изучения управления закупками и деятельности отдела материально-технического снабжения (МТС) по выбору и работе с поставщиками, на примере машиностроительного предприятия, выявлена проблема длительного и не всегда эффективного отбора поставщиков, рутинная обработка значительных объемов информации из-за отсутствия соответствующего программного инструментария. Поиск необходимого поставщика и оформление заказа занимает в среднем три месяца, временами и более длительный срок, до 10 месяцев и больше. Документы - анкета поставщика, рейтинг поставщиков и др. представляют собой отдельные на каждого поставщика и продукцию файлы, собранные в папки по годам. На их основе сложно провести анализ, проследить эффективность работы с поставщиком в динамике. Существующие SRM-решения позволяют решать значительную часть задач управления закупками, выбора поставщика. Но, как правило, они имеют высокую стоимость, и создаются в виде модулей ERP-системы, разработанной под конкретную сферу деятельности, поэтому доступной только ограниченному числу организаций. Оценка поставщиков в таких системах проводится по узкому набору критериев. Поэтому, на наш взгляд, существует необходимость в таком программном инструментарии, который позволяет сопровождать процессы управления закупками, частично или полностью с наибольшей эффективностью.
Авторами рассмотрен вариант создания системы, позволяющей учитывать одновременно ряд важных критериев продукции, предлагаемой поставщиком, а также деятельности предприятия-поставщика. Использование подобной информационной системы для отдела снабжения, а именно для логиста или менеджера по закупкам, позволит сократить время на выбор поставщика, оценить целесообразность взаимодействия с ним в долгосрочной перспективе.
1. Общие положения о выборе поставщика
Укрупненно при выборе поставщика можно обозначить следующие основные этапы.
1. Поиск потенциальных поставщиков. Методы поиска и критерии предварительного отбора избираются в зависимости от внутренних и внешних условий деятельности предприятия. В результате формируется список поставщиков, который постоянно обновляется и дополняется.
2. Анализ поставщиков. Составленный перечень потенциальных поставщиков анализируется на основании специальных критериев, позволяющих осуществить отбор наиболее соответствующих требованиям. Количество критериев отбора может составлять несколько десятков и может изменяться. В результате анализа поставщиков формируется перечень тех, с которыми проводится работа по заключению договоров.
3. Оценка результатов работы с поставщиками. Для оценки разрабатывается специальная шкала, позволяющая рассчитывать рейтинг поставщика. Особого подхода заслуживает именно оценка и анализ поставщиков. Как показывает практика, системе установленных критериев может соответствовать несколько поставщиков. Окончательный выбор поставщика производится лицом, принимающим решение в отделе закупок, и, как правило, не может быть полностью формализован .
2. Методы и модели оценки и анализа поставщика
Обзор работ по данной теме позволяет выделить два основных подхода к оценке и анализу поставщиков: аналитический - с использованием формул и ряда параметров, характеризующих поставщика); экспертный - основан на экспертных оценках параметров и получаемых на их основе рейтингах поставщиков . В рамках данных подходов применяются такие методы, как субъективный анализ поставщиков, начисление баллов за различные стороны деятельности, метод расстановки приоритетов, метод категории приемлемости (предпочтений), метод оценки затрат, метод доминирующих характеристик и др. . Основой отбора являются среднеотраслевые показатели, показатели любого конкурирующего предприятия, показатели предприятия-лидера, показатели предприятия-эталона, показатели предприятия стратегической группы, ретроспективные показатели оцениваемого предприятия. Учитывая достоинства и недостатки указанных выше методов, для оценки и выбора поставщика предложена модель на основе метода нечеткого логического вывода , которая позволяет учесть и качественные, и количественные показатели; оценить целесообразность работы с поставщиком при наличии информации о его деятельности, конкурентном положении, продукции. В соответствии с данной моделью процесс выбора поставщика включает следующие этапы: определение критериев оценки поставщика экспертом; вычисление значений функций принадлежности; определение уровня удовлетворительности альтернатив; выбор наилучшей альтернативы. С целью упрощения процесса выбора поставщика на основе предложенной модели разработана информационная система.
3. Информационная система выбора поставщика
«Информационная система выбора поставщика на основе нечеткого логического вывода» предназначена для сотрудников отдела материально-технического снабжения производственного предприятия, для логистов, менеджеров по закупкам, менеджеров по продажам в качестве инструмента поддержки принятия решения.
Информационная система выбора поставщика создана в среде разработки приложений Borland C++ Builder v.6 в сочетании с СУБД Access.
Разработанная информационная система состоит из следующих основных модулей: продукция поставщика (предназначена для оценки критериев, связанных с оценкой продукции поставщика), поставщики (предназначена для оценки деятельности поставщиков), критерии (необходимы для определения значений критериев оценки продукции и деятельности поставщиков).
Работа в программе начинается с ввода (импорта или дополнения) данных номенклатурно-планового задания, сведений о поставщиках, их продукции. Кроме того, в качестве входной условно-постоянной информацией являются сведения о поставщиках, отображенные в наборе критериев, представленных в таблице 1, назначается экспертами. Входная, выходная информация, функции системы представлены на рис. 1. Главное окно на рис. 2. Главное окно содержит вкладки для работы с данными о поставщиках, их продукции, критериях их оценки, продукционными правилами нечеткого логического вывода и отчетами. Каждая вкладка содержит команды и, в свою очередь, также содержит свои подвкладки. Вкладка «Правила» предназначена для работы с правилами нечеткого логического вывода. Таким образом, реализована возможность задавать отдельные правила для поставщиков и для списков закупаемой продукции. Результатом работы информационной системы является ранжированный список наиболее предпочтительных поставщиков. С помощью специального отчета можно проследить динамику рейтинга поставщика за период. Отчеты «Значения критериев поставщиков», «Рейтинг поставщиков», «Отчет о динамике критерия», «Рейтинг продукции поставщиков» формируются на основании расчетов и условно-постоянной информации (рис. 2, 3).
Таблица 1 - Интервалы значений критериев оценки
|
Критерий |
Значение |
Интервал значений |
|
невысокая |
||
|
приемлемая |
||
|
очень высокая |
||
|
Гибкость политики |
||
|
Условия платежа |
невыгодные |
|
|
менее приемлемые |
||
|
приемлемые |
||
|
наиболее приемлемые |
||
|
Качество продукции |
||
|
удовлетворительное |
||
|
Наличие свободных производственных мощностей |
||
|
возможно наращивание |
||
|
Уровень надежности |
низкий, менее |
|
|
удовлетворительный |
||
|
приемлемый |
||
|
Деловая активность предприятия |
||
|
ниже среднего уровня |
||
|
выше среднего уровня |
||
|
Скорость поставки |
||
|
удовлетворительная |
||
|
приемлемая |
||
Рисунок 1 - Информация и функции «Информационной системы выбора поставщика на основе метода нечеткого логического вывода»
Рисунок 2 - Вкладки «Поставщики» и «Номенклатура продукции»
Во вкладке «Критерии» определяется перечень критериев, эксперт вносит их значения. Значения критериев вводятся в базу данных с помощью команды «Задать значения критерия». Каждому критерию соответствует лингвистическая переменная, термы которой можно задать с помощью команды «Определить термы критерия» (рис. 3). Окно содержит комманды: «Новый» - для добавления нового терма в лингвистическую переменную, «Редактировать» - для редактирования выбранного терма, «Удалить» - для удаления выбранного терма и «Задать элементы» - для вызова окна «Элементы», в котором можно определить элементы выбранного терма и функции их принадлежности.
Рисунок 3 - Окно «Термы критерия "Уровень надежности"», отчет «Рейтинг поставщиков»
Термы лингвистической переменной критерия рассчитываются автоматически после нажатия кнопки «Определить термы критерия». При необходимости можно задавать новые термы и их функции принадлежности. Аналогичным образом заполняются данные о критериях продукции на подвкладке «Критерии продукции». Для формирования термов результирующей лингвистической переменной нужно перейти на подвкладку «Результирующая переменная». Продукционные правила нечеткого логического вывода задаются на вкладке «Правила». Отчет «Рейтинг поставщиков» формируется на основе данных из отчетов: «Рейтинг продукции поставщиков», «Значения критериев поставщиков» и др. (рис. 4).
Рисунок 4 - Отчеты «Информационной системы выбора поставщиков»
Информационная система позволяет выбрать наиболее приемлемый вариант взаимодействия предприятия и поставщиков в процессе закупки, ранжировать поставщиков по степени приоритетности. Особенностью системы является то, что в основе ее работы лежит метод нечеткого логического вывода, позволяющий решать слабоформализуемые задачи, что позволяет учитывать не только количественные критерии, но и критерии, выражаемые качественно. Поэтому возможно ее применение в качестве инструмента поддержки принятия решения.
В целом использование соответствующего инструментария выбора поставщиков обеспечивает предприятию: четкое определение качества поставок применительно к единице продукции в контракте; исключение или сведение к минимуму количества конфликтных ситуаций, связанных с качеством продукции и схемой доставки; информационный обмен относительно качества поставок; оптимизацию затрат на приемку и сокращение затрат потребителя продукции; повышение качества поставок .
Рецензенты:
Кориков Анатолий Михайлович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой АСУ Томского университета систем управления и радиоэлектроники, г. Томск.
Сапожков Сергей Борисович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой МИГ ЮТИ НИТПУ, г. Юрга.
Типовая структура процесса нечеткого вывода показана на рис. 17.
Рис, 17
Прежде всего, должна быть сформирована база правил, представляющая собой конечное множество правил нечетких продукций. Формирование базы правил включает определение входных и выходных лингвистических переменных, а также собственно правил. Входными лингвистическими переменными называются лингвистические переменные, используемые в подусловиях правил. Выходные переменные - переменные, используемые в подзаключениях правил. Определение лингвистических переменных означает определение базовых терм-множеств переменных и функций принадлежности терм-множеств. Правила формируется, как было рассмотрено в разделе 2.4. Каждому правилу может быть приписан вес, принимающий значение из интервала . Если вес отсутствует, можно считать, что вес равен нулю.
На вход системы нечеткого вывода поступает вектор х* =[*,*,*2, »?**, ] четких значений лингвистических переменных д. Блок фаззификации (am. fuzzification - приведении к нечеткости) вычисляет степени принадлежности этих значений нечетким множествам значений лингвистических переменных. Для этого должны быть известны функции каждого терма лингвистической переменной.
Фаззификация производится следующим образом. Пусть для каждой входной лингвистической переменной д известно ее числовое значение х*. Рассматривается каждое высказывание подусловий, в котором фигурирует переменная д, например, " р. есть от ", где ос ( -терм с известной функцией принадлежности [лАх). Значение х* используется в качестве аргумента //(л), в результате чего находится = д (х*). При этом могут использоваться модификаторы. Таким образом вычисляются значения истинности всех подусловий системы нечеткого вывода. Высказывания в подусловиях заменяются числами. На выходе блока фаззификации формируется вектор m = , который является входом блока вывода.
Блок нечеткого логического вывода получает на входе вектор степени истинности всех подусловий т и вычисляет результирующую функцию принадлежности выходного значения (система вывода может иметь несколько выходов, тогда речь идет о выходном векторе). Вычисление результирующей функции принадлежности включает следующие процедуры (в скобках указаны названия процедур в соответствии с международным стандартом языков программирования контроллеров IEC 1131 - Programmable Controllers. Part 7 - Fuzzy Control Programming ):
В процедуре вычисления степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода (агрегирование) рассматривается каждое условие правил системы нечеткого вывода и вычисляется степень истинности условий. Исходными данными являются степени истинности подусловий (вектор т ), вычисленные в блоке фаззификации. Если условие содержит одно нечеткое высказывание вида, то степень истинности условия равна степени истинности высказывания условия. Если условие состоит из двух подусловий, связанных конъюнкцией, или дизъюнкцией, степень выполнения условия вычисляется с помощью треугольных норм (раздел 1.5). Например, для условия правила ЕСЛИ "(3, есть а," И "Р 2 естьа 2 " получаем ц(ц,дс г ")= 7 ’(ц 11 (х;)ц„(л-;)),
х и х 2 - значения входных переменных л;, и х 2 ,
Т - один из операторов t-нормы, /и а (х) и М а, (*) - функции принадлежности термов «, и а 2 .
Аналогично для условия правила:
где S - один из операторов s-нормы. Если условие содержит множество подусловий, соединенных дизъюнкциями и конъюнкциями, то сначала вычисляются степени истинности подусловий, соединенных конъюнкциями, затем - дизъюнкциями. Как обычно, скобки нарушают порядок действий. Рекомендуется использовать согласованные правила расчета истинности. Например, если для вычисления нечеткой конъюнкции используется операция min-пересечения, то для вычисления нечеткой дизъюнкции следует применить операцию max-объединения.
Процедура определения активизированных функций принадлежности заключений (активизация) основана на операции нечеткой импликации (раздел 2.1). Входными данными для процедуры являются степени истинности условий правил и функции принадлежности выходных величин, выходными - функции принадлежности всех подзаключений. Рассмотрим пример . Пусть правило имеет вид ЕСЛИ (х= Л)ТО (у = В) , функции принадлежности ц А (х) и Мв(у) -треугольные (рис. 18), входное значение х* = 6,5, степень истинности условия /i, f (х*) = 0,5 (см. рис. 18).
Рис . 18 -
Используем импликацию Мамдаии:
Практически активизированная функция принадлежности заключения при использовании импликации Мамдани находится простым усечением функции принадлежности заключения Мв(у) Д° уровня степень истинности условия [л А (х*) (рис. 18). Можно использовать другие операторы нечеткой импликации.
Например, результат активизации заключения с использованием правила «произведение» показан на рис. 19.
Рис . 19
На практике, особенно при наличии в правилах нескольких позаключений, удобно использовать процедуру активизации, основанную на алгоритме вывода Мамдани (алгоритм будет рассмотрен в разделе 2.6). В этом алгоритме для каждого правила задастся весовой коэффициент /^е. Может быть F/= 1, такое значение принимают, если весовой коэффициент не задан явно. Для отдельных подзаключений одного правила могут быть заданы разные весовые коэффициенты. Степень истинности всех подзаключений /-го правила рассчитывается по формуле
Активизированная функция принадлежности j- го подзаключения /-го правила вычисляется по одной из формул, основанных на методе нечеткой композиции:
min-активизация /J* (д>) = min {с п (j")};
prod-активизация //* (у) = c t // (у).
Рассмотренный алгоритм особенно удобен, когда правила содержат по несколько подзаключений вида.
Так как подзаключения, относящиеся к одной и той же выходной лингвистической переменной, в общем виде принадлежат разным правилам, то необходимо построить единую результирующую функцию принадлежности для каждой выходной переменной. Эта процедура называется аккумуляцией. Аккумуляция производится объединением с помощью одной из s-норм активизированных функций принадлежности каждой выходной лингвистической переменной. В результате для каждой выходной переменной получается одна функция принадлежности, возможно, весьма сложной формы.
Дефаззификация (приведение к четности) - нахождение для каждой выходной лингвистической переменной четкого значения в некотором смысле наилучшим образом, представляющим нечеткую переменную. Необходимость в дефаззификации объясняется тем, что на выходе системы нечеткого вывода нужны, как правило, четкие значения, которые поступают, например, на исполнительный механизм. Так как возможны разные критерии представления чечеткой переменной одним числом, то существуют различные методы дефаззификации . В результате определения результирующих функций принадлежности выходных лингвистических переменных получаются результирующие функции принадлежности №res{y)- Для унимодальной функции принадлежности простейшим методом дефаззификации является выбор четкого числа, соответствующего максимальной степени принадлежности. Обобщением этого метода на многомодальные функции являются методы левого и правового модального значения.
В методе левого модального значения (LM - Lost Most Maxi mum), называемом еще метод первого максимума (FM - FirstofMaxima) , или наименьший из максимумов (SOM - Smallest Of Maximums) в качестве четкого значения берется у = min {х т }, где х т - модальное значение результирующей функции принадлежности. Другими словами, в качестве четкой выходной переменной берется наименьшая (самая левая) мода.
В методе правого модального значения (RM - RightMostMaximum), называемом еще метод последнего максимума (LM - LastofMaxima), или метод наибольшего максимума (LOM - Largest Of Maximums) в качестве четкого значения берется у = тах{х /и |, то есть наибольшая (самая правая) из мод. Примеры дефаззификации с использование левого и правого модальных значений представлены на рис. 20а и 206.
В методе среднего максимума (ММ - MidleofMaxima), или методе центра максимумов (MOM - MeanOfMaximums) находится среднее арифметическое элементов универсального множества, имеющих максимальные степени принадлежностей
где G - множество всех элементов из интервала, имеющих максимальную степень принадлежности нечеткому множеству. Пример дефаззификации с использование метода среднего максимума представлен на рис. 20в.
Дефаззификация по методу центра тяжести (CG - Center of Gravity, Centroid) производится по формуле определения центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества
где Min и Мах - левая и правая точки интервала носителя выходной переменной.
Пример дефаззификации с использование метода центра тяжести представлен на рис. 20в.
Рис. 20 - Примеры дефаззификации а) результат дефаззификации по методу левого модального значения у =у 1 ;
Area, Bisector of Area, Bisector) состоит в нахождении такого чис-
>’ Мах
ла у, что J //(x)dx= J //(x)dx . Геометрический смысл метода
состоит в нахождении такой точки на оси абсцисс, что перпендикуляр, восстановленный в этой точке, делит площадь под кривой функции принадлежности на две равные части.
В задачах математического моделирования часто возникает задача описания переменных, представляющих качественные значения показателей, слабо формализуемых в дискретный набор значений Коротеев, М.В. Аналитическая дефаззификация нечётких чисел / Коротеев М.В. // Известия ВолгГТУ. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах». Вып. 14: межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - № 10 (97). - C. 32-35.. Примером таких показателей может служить качество товара, эффективность работы учреждения, квалификация сотрудников и многие другие. В то же время, традиционно уровни таких показателей оцениваются качественно, с использованием экспертных оценок, формулируемых с помощью лингвистических понятий «низкий», «высокий», «очень высокий». Оперирование лингвистическими понятиями представляет определенную сложность, преодоление которой требует привлечения определенного математического аппарата.
Нами в наших исследованиях был выбран аппарат нечеткой логики, так как он предоставляет гибкую возможность вычислений в лингвистических термах, оперирование неопределенностью в условиях недостатка информации. Лингвистические переменные Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c. могут формализовать неточные, многозначные и неопределенные понятия. Это свойство весьма полезно для использования в экспертных системах, так как предоставляет методологию, позволяющую экспертам выражать свои знания в привычной для них лингвистической форме и оперировать ими как строгими математическими объектами. Далее, адаптируем алгоритм нечеткого вывода для использования в Байесовских сетях.
Центральным понятием нечеткого вывода является лингвистическая переменная - переменная, имеющая определенный набор лингвистических значений (термов), построенная на определенной области определения (обычно, действительном интервале) Murphy, Kevin (2002). Dynamic Bayesian Networks: Representation, Inference and Learning. UC Berkeley, Computer Science Division. Jensen Finn V. Bayesian Networks and Decision Graphs. -- Springer, 2001.. Для примера рассмотрим лингвистическую переменную «КАЧЕСТВО». Мы можем определить некий интегральный показатель качества, оценивающий качество в некоей шкале. Путем нормализации, практически любую шкалу мы можем привести в отрезок . В дальнейшем, будем использовать именно этот отрезок как иллюстрацию носителя в силу его универсальности и общеупотребимости.
Каждый уровень качества может быть охарактеризован как низкий, средний или высокий, но в разной степени. Этот набор является набором значений лингвистической переменной. Таким образом, каждому значению лингвистической переменной соответствует функция принадлежности где x - элемент области определения, определенная на области определения данной переменной. Эта функция показывает, насколько применимо в данной точке области определения данное значение. Функция принадлежности обычно принимает значения из интервала , где значение 0 показывает, что данное значение абсолютно не применимо в данной точке, а значение 1 говорит об абсолютной применимости данного значения. Набор данных функций называется нечетким классификатором Коротеев, М.В. Проектирование программной реализации носителей нечётких множеств / Коротеев М.В. // Объектные системы - 2011 (Зимняя сессия) : матер. V междунар. науч.-практ. конф. (Ростов-на-Дону, 10-12 дек. 2011 г.) / Шахтинский ин-т (филиал) ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ) [и др.]. - Ростов н/Д, 2011. - C. 44-49.. В случае обычной четкой переменной, каждая точка области определения может принадлежать одному и только одному значению. В нечеткой логике, каждая точка принадлежит всем значениям, но в разной степени.
Простой нечеткий классификатор
На рисунке изображен нечеткий классификатор с тремя термами (слева направо: «низкий уровень», «средний уровень», «высокий уровень»). Носителем данной лингвистической переменной является отрезок (горизонтальная ось). Область значений функции принадлежности - также отрезок (вертикальная ось). Можно увидеть, что точка, например, 0,3 принадлежит терму «низкий уровень» со степенью принадлежности 0,5; «средний уровень» - с принадлежностью также 0,5, «высокий уровень» - с принадлежностью 0. Нестрого можно сказать, что данная точка не принадлежит терму «высокий уровень» вообще.
Для каждой точки области определения, сумма ее принадлежностей ко всем термам переменной равна 1
Для каждой точки области определения, существует не более двух и не менее одного терма, принадлежность к которым данной точки положительна.
Для каждого терма лингвистической переменной существует по меньшей мере одна точка, принадлежность которой к данному терму равна 1.
Нечеткий классификатор, не являющийся нечетким разбиением.
Рассмотрим алгоритм нечеткого логического вывода на примере алгоритма Мамдани Коротеев, М.В. Разработка арифметики нечётких чисел в общей форме / Коротеев М.В. // Известия ВолгГТУ. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах». Вып. 13: межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - № 4 (91). - C. 122-127. . Допустим, существует две лингвистические переменные А и В, каждая из которых определена на интервале и принимает значения из множества {«low», «middle», «high»}, характеризующие качественный уровень показателя. Значения переменной В нечетко зависят от значений переменной А по следующему набору правил логического вывода (аналогично правилам четкого логического вывода):
Система правил нечеткого логического вывода
Исходя из этих данных, каждому правилу вывода присваивается вес, показывающий, в какой степени данное правило применимо при данном наблюдении:
Взвешенная система правил нечеткого логического вывода
В данном простом примере используем значения функций принадлежности как веса правил. Исходя из полученных результатов, переменная В примет значение, равное значению выражения |0.7*”high” + 0.3*”middle”|. Рассматривая каждый терм как НПМ, мы можем вычислить значение данного выражения. и оно гарантированно будет являться элементом области определения лингвистической переменной В. Кроме численного значения, в качестве результата процесса вывода может рассматриваться и нечетко-множественное представление в виде НПМ С = 0.7*”high” + 0.3*”middle”. В общем случае, для вычисления результата нечеткого логического вывода, достаточно вычислить веса всех термов целевой переменной.
Рассмотрим пример более сложного нечеткого вывода. Имеем три аналогичные переменные, А, В и С, где значение С зависит от значений А и В по следующему набору правил:
Система правил вывода для двух условных переменных
Как видно из таблицы, система правил нечеткого вывода использует аналогичный механизм, когда перечисляются все возможные назначения условных переменных в разделе ЕСЛИ, и каждому назначению из них. поставлено в соответствие назначение подусловной переменной в разделе ТО.
Вычислим значения весов правил как произведения соответствующих принадлежностей: В качестве оператора комбинации при вычислении весов правил в нечетком выводе применяются различные треугольные нормы, но мы воспользуемся самой простой функцией.
Взвешенная система правил вывода двух условных переменных
