Рассмотрим квадратную матрицу . Обозначим Δ = det A ее определитель. Квадратная В есть (ОМ) для квадратной А того же порядка, если их произведение А*В = В* А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и А и В.
Квадратная А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.
Теорема. Для того, чтобы А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
(ОМ) А, обозначается через А -1 , так что В = А -1 и вычисляется по формуле
, (1)
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j , Δ = detA.
Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то в результате получится A -1 . Удобно совершать ЭП над А и Е одновременно, записывая обе рядом через черту A|E. Если нужно найти A -1 , в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.
Пример 1
. Для 
найти A -1 .
Решение.
Находим сначала детерминант А 
значит, (ОМ) существует и мы ее можем найти по формуле: 
, где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной А.
Алгебраическое дополнение элемента a ij это определитель или минор M ij . Он получается вычеркиванием столбца i и строки j. Затем минор умножается на (-1) i+j , т.е. A ij =(-1) i+j M ij
откуда 
.
Пример 2 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для: А= .
Решение.
Приписываем к исходной A справа единичную того же порядка: 
. С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой "половиной".
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: 
~
. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: 
. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; 
. Прибавим третий столбец к первому и второму: 
. Умножим последний столбец на -1: 
. Полученная справа от вертикальной черты квадратная таблица является обратной А -1 . Итак, 
.
В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.
Навигация по странице.
Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.
Определение.
Матрица называется обратной для матрицы
, определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства 
, где E
– единичная матрица порядка n
на n
.
Как же находить обратную матрицу для данной?
Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы , минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.
Определение.
Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k , которая получается из элементов матрицы А , находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n ).
Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой , и всех столбцов, кроме j-ого , квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .
Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.
Для примера запишем, минор 2-ого
порядка, который получаетсся из матрицы 
выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов 
. Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца 
. Проиллюстрируем построение этих миноров: и .
Определение.
Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А , вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .
Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Таким обрзом, 
.
Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента есть .
Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделе вычисление определителя матрицы :
На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство 
, где - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения .
Матрица 
действительно является обратной для матрицы А
, так как выполняются равенства . Покажем это
Составим алгоритм нахождения обратной матрицы
с использованием равенства .
Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.
Пример.
Дана матрица 
. Найдите обратную матрицу.
Решение.
Вычислим определитель матрицы А
, разложив его по элементам третьего столбца:
Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.
Найдем матрицу из алгебраических дополнений:
Поэтому
Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:
Теперь находим обратную матрицу как :
Проверяем полученный результат:
Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.
Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы
:
Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана.
Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е , то получится обратная матрица .
Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n , определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.
Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.
Если , то на место первой строки ставится k-ая строка (k>1 ), в которой , а на место k-ой строки ставится первая. (Строка с обязательно существует, в противном случае матрица А – вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицу А , у которой .
Теперь умножаем каждый элемент первой строки на . Так приходим к «новой» матрице А , у которой . Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А , начиная со второго, станут нулевыми.
С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.
Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с , стали нулевыми.
Если , то на место второй строки ставится k-ая строка (k>2 ), в которой , а на место k-ой строки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицу А , у которой . Умножаем все элементы второй строки на . После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы второго столбца матрицы А , начиная с третьего, станут нулевыми, а будет равен единице.
Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.
Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-1)-ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . К элементам (n-2)-ой строки – соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому .
Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы (n-1)-ого столбца до , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-2)-ой строки прибавляем соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . К элементам (n-3)-ой строки – соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы (n-1)-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
Пример.
Приведите матрицу 
к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.
Решение.
Так как , а , то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу 
.
Умножим все элементы первой строки матрицы на : 
.
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0
, а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4)
:
Переходим ко второму столбцу.
Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на . К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
Переходим к третьему столбцу.
Умножим элементы третьей строки на : 
.
Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2)
, а к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на :
В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.
К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на : 
.
Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.
Пришло время применить метод Гаусса – Жордана к нахождению обратной матрицы.
Пример.
Найдите обратную матрицу для 
методом Гаусса – Жордана.
Решение.
В левой части страницы будем проводить преобразования Гаусса – Жордана с матрицей А , а в правой части страницы будем проделывать те же преобразования с единичной матрицей.
Так как , а , то переставим первую и вторую строки местами:
Умножим элементы первой строки матрицы на одну вторую, чтобы элемент стал равен единице:
К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0
, к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2
, к элементам четвертой строки – элементы первой строки, умноженные на 5
:
Так в первом столбце матрицы А
мы получили нужные нулевые элементы. Переходим ко второму столбцу. Добьемся того, чтобы элемент стал равен единице. Для этого умножим элементы второй строки матрицы на , не забываем выполнять такие же преобразования с матрицей в правой части:
Дальше нам нужно сделать элементы и нулевыми, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 0
, а к элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
Так второй столбец матрицы А
преобразован к нужному виду. Переходим к третьему столбцу. Так как элемент нулевой, то меняем местами третью и четвертую строки:
Умножаем элементы третьей строки на :
Третий столбец матрицы А
принял нужный вид (элемент нулевой, поэтому не пришлось к элементам четвертой строки прибавлять соответствующие элементы третьей строки, умноженные на ). Осталось умножить четвертую строку на чтобы все элементы главной диагонали стали равны единице:
Прямой ход метода Гаусса-Жордана завершен, приступаем к обратному ходу. Получаем необходимые нулевые элементы в последнем столбце матрицы А
. Для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы последней строки, умноженные на , к элементам второй строки – элементы последней строки, умноженные на , к элементам первой строки – элементы последней строки, умноженные на 0
:
Получаем нули в предпоследнем столбце прибавлением к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и 0
соответственно:
Осталось последнее преобразование. К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные на :
Итак, матрица А преобразованиями Гаусса – Жордана приведена к единичной матрице, а единичная матрица с помощью таких же преобразований приведена к обратной матрице. Таким образом, в правой части получена обратная матрица. Можете провести проверку, выполнив умножение матрицы А на обратную матрицу.
Ответ:
.
Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n .
Этот метод основан на решении n
систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n
дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:
Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделу .
Из первой системы уравнений имеем , из второй - , из третьей - . Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид 
. Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.
Подведем итог.
Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.
Похожие на обратные по многим свойствам.
1 / 5
✪ Обратная матрица (2 способа нахождения)
✪ Как находить обратную матрицу - bezbotvy
✪ Обратная матрица #1
✪ Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy
✪ Обратная Матрица
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E . Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса-Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам, но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ i {\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 {\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}} . Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] {\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}} .Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ {\displaystyle \Lambda } , то есть будет искомой. Сложность алгоритма - O (n 3) {\displaystyle O(n^{3})} .
Матрица, обратная матрице A {\displaystyle A} , представима в виде
A − 1 = adj (A) det (A) {\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}
где adj (A) {\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} - присоединенная матрица ;
Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O det и равна O(n²)·O det .
Матричное уравнение A X = I n {\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X {\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n {\displaystyle n} систем вида A x = b {\displaystyle Ax=b} . Обозначим i {\displaystyle i} -ый столбец матрицы X {\displaystyle X} через X i {\displaystyle X_{i}} ; тогда A X i = e i {\displaystyle AX_{i}=e_{i}} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ,поскольку i {\displaystyle i} -м столбцом матрицы I n {\displaystyle I_{n}} является единичный вектор e i {\displaystyle e_{i}} . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³) .
Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение P A = L U {\displaystyle PA=LU} . Пусть P A = B {\displaystyle PA=B} , B − 1 = D {\displaystyle B^{-1}=D} . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1 L − 1 {\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}} . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида U D = L − 1 {\displaystyle UD=L^{-1}} и D L = U − 1 {\displaystyle DL=U^{-1}} . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n (n + 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n (n − 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаем равенство A − 1 = D P {\displaystyle A^{-1}=DP} .
В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.
Сложность алгоритма - O(n³).
{ Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i {\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}
Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U 0 {\displaystyle U_{0}} , обеспечивающие выполнение условия ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы A A T {\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A - симметричная положительно определённая матрица и ρ (A) ≤ β {\displaystyle \rho (A)\leq \beta } , то можно взять U 0 = α E {\displaystyle U_{0}={\alpha }E} , где ; если же A - произвольная невырожденная матрица и ρ (A A T) ≤ β {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta } , то полагают U 0 = α A T {\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}} , где также α ∈ (0 , 2 β) {\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)} ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ (A A T) ≤ k A A T k {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}} , положить U 0 = A T ‖ A A T ‖ {\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}} ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖ Ψ 0 ‖ {\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖ Ψ 0 ‖ > 1 {\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1} ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что a d − b c = det A ≠ 0 {\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0} .
www.сайт позволяет найти обратную матрицу онлайн . Сайт производит вычисление обратной матрицы онлайн . За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Обратной матрицей будет являться такая матрица , умножение исходной матрицы на которую дает единичную матрицу , при условии, что определитель начальной матрицы не равен нулю, иначе обратной матрицы для нее не существует. В задачах, когда вычисляем обратную матрицу онлайн , необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе www.сайт выдаст соответствующее сообщение о невозможности вычислить обратную матрицу онлайн . Такую матрицу еще называют вырожденной. Найти обратную матрицу в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы . Операция нахождения обратной матрицы онлайн сводится к вычислению определителя матрицы , затем составляется промежуточная матрица по известному правилу, и в завершении операции - умножения найденного ранее определителя на транспонированную промежуточную матрицу . Точного результата от определения обратной матрицы онлайн можно добиться, изучив теорию по этому курсу. Данная операция занимает особое место в теории матриц и линейной алгебры, позволяет решать системы линейных уравнений, так называемым, матричным методом. Задача по нахождению обратной матрицы онлайн встречается уже в начале изучения высшей математики и присутствует почти в каждой математической дисциплине как базовое понятие алгебры, являясь математическим инструментом в прикладных задачах. www.сайт находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно. Вычисление обратной матрицы онлайн при заданной её размерности - это нахождение матрицы той же размерности в числовом ее значении, а также в символьном, найденного по правилу вычисления обратной матрицы . Нахождение обратной матрицы онлайн широко распространено в теории матриц . Результат нахождения обратной матрицы онлайн используется при решении линейной системы уравнений матричным методом. Если определитель матрицы будет равен нулю, то обратной матрицы , для которой найден нулевой определитель, не существует. Для того, чтобы вычислить обратную матрицу или найти сразу для нескольких матриц соответствующие им обратные , необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет обратную матрицу онлайн . При этом ответ по нахождению обратной матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении обратной матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , то есть обратная матрица онлайн может быть представлена в общем символьном виде при вычислении обратной матрицы онлайн . Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению обратной матрицы онлайн , используя сайт www.сайт . При совершении операции вычисления обратной матрицы онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему обратная матрица онлайн . Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.сайт безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении обратной матрицы онлайн .
Исходной по формуле: A^-1 = A*/detA, где A* - присоединенная матрица, detA - исходной матрицы. Присоединенная матрица - это транспонированная матрица дополнений к элементам исходной матрицы.
Первым делом найдите определитель матрицы, он должен быть отличен от нуля, так как дальше определитель будет использоваться в качестве делителя. Пусть для примера дана матрица третьего (состоящая из трех строк и трех столбцов). Как видно, определитель матрицы не равен нулю, поэтому существует обратная матрица.
Найдите дополнения к каждому элементу матрицы A. Дополнением к A называется определитель подматрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, причем этот определитель берется со знаком. Знак определяется умножением определителя на (-1) в степени i+j. Таким образом, например, дополнением к A будет определитель, рассмотренный на рисунке. Знак получился так: (-1)^(2+1) = -1.
В результате вы получите матрицу дополнений, теперь транспонируйте ее. Транспонирование - это операция, симметричная относительно главной диагонали матрицы, столбцы и строки меняются местами. Таким образом, вы нашли присоединенную матрицу A*.
